Дискриминант при равенстве нулю: значение и его роль

Дискриминант — это один из основных параметров квадратного уравнения, который позволяет определить количество и характер корней. Он вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты уравнения.

Если дискриминант равен нулю, то это означает, что уравнение имеет ровно один корень. Этот корень называется корнем кратности 2, так как он встречается два раза. Такой случай называется квадратное уравнение с двойным корнем.

Когда дискриминант равен нулю, это говорит нам о том, что у квадратного уравнения есть решение, но оно является единственным. То есть график квадратного уравнения касается оси ОХ в точке, где находится его корень.

Определение и свойства

Когда дискриминант равен нулю (D = 0), это означает, что квадратное уравнение имеет только один корень. Такой случай называется уравнением с «двойным» корнем.

Дискриминант равный нулю означает, что уравнение имеет только одно пересечение с осью абсцисс, и это пересечение является точкой касания.

Также, если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет симметрию относительно вертикальной прямой x = -b/2a, проходящей через вершину параболы.

Пользуясь этим свойством, можно упростить решение уравнения и найти корень по формуле x = -b/2a.

Дискриминант в квадратном уравнении

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac, где a, b и c — это коэффициенты квадратного уравнения.

Вычисление дискриминанта помогает ответить на следующие вопросы:

  • Если дискриминант положительный (D > 0), то квадратное уравнение имеет два различных вещественных корня.
  • Если дискриминант равен нулю (D = 0), то квадратное уравнение имеет один вещественный корень, который является двойным.
  • Если дискриминант отрицательный (D < 0), то квадратное уравнение не имеет вещественных корней.

Когда дискриминант равен нулю, это означает, что квадратное уравнение имеет один корень, который является двойным. Например, если у нас есть квадратное уравнение x^2 + 4x + 4 = 0, то его дискриминант равен 0, и корень этого уравнения равен -2.

Таким образом, дискриминант равный нулю указывает на наличие одного вещественного корня, который является двойным в квадратном уравнении.

Геометрический смысл

Дискриминант квадратного уравнения играет важную роль в геометрическом смысле, так как позволяет определить, какая фигура получается при решении уравнения. Если дискриминант равен нулю, это означает, что квадратное уравнение имеет один корень. Геометрически это означает, что график квадратного уравнения представляет собой параллельную прямую, касающуюся оси абсцисс в одной точке.

Корни квадратного уравнения на плоскости

Квадратное уравнение на плоскости имеет вид:

ax2 + bx + c = 0,

где a, b и c являются коэффициентами этого уравнения, а x — неизвестной переменной.

Уравнение может иметь три случая корней, которые зависят от значения дискриминанта.

Если дискриминант D = b2 — 4ac равен 0, то уравнение имеет один корень — это так называемый двойной корень. Однако, для получения его значения, требуется дополнительный расчет:

  • Перепишите уравнение в виде (x — h)2 = 0, где h = -b/(2a);
  • Решите это уравнение, применив извлечение квадратного корня обеих сторон;
  • Получите ответ: x = h.

Таким образом, если дискриминант квадратного уравнения равен 0, единственный корень будет равен x = -b/(2a).

Дискриминант и количество решений

Когда дискриминант равен 0, это означает, что уравнение имеет только одно решение. Это называется кратным корнем. Если уравнение имеет кратный корень, то оно можно записать в виде (x — a)² = 0, где а — значение корня.

Например, уравнение x² + 4x + 4 = 0 имеет дискриминант D = 4 — 4*1*4 = 0. Это означает, что уравнение имеет только одно решение x = -2.

Когда дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных решения. Если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Понимание значения дискриминанта позволяет определить число решений квадратного уравнения и рассмотреть его график на координатной плоскости.

Два случая дискриминанта равного 0:

Когда дискриминант квадратного уравнения равен 0, существуют два случая:

  • Первый случай: уравнение имеет два одинаковых вещественных корня.
  • Второй случай: уравнение имеет два комплексных корня, совпадающих по модулю и отличающихся только знаком.

Для решения квадратного уравнения в первом случае можно использовать формулу:

x = -b / (2a)

где:

  • a — коэффициент при квадратичном члене уравнения;
  • b — коэффициент при линейном члене уравнения;
  • x — корень уравнения.

Во втором случае можно воспользоваться формулой:

x1 = -b / (2a) + i * (sqrt(|D|) / (2a))

x2 = -b / (2a) — i * (sqrt(|D|) / (2a))

где:

  • a — коэффициент при квадратичном члене уравнения;
  • b — коэффициент при линейном члене уравнения;
  • x1, x2 — комплексные корни уравнения;
  • i — мнимая единица;
  • sqrt(|D|) — квадратный корень из модуля дискриминанта.

Примеры

Рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять, когда дискриминант равен нулю.

ПримерКвадратное уравнениеДискриминант
1x² + 4x + 4 = 00
22x² — 4x + 2 = 00
35x² + 10x + 5 = 00

Во всех этих примерах дискриминант равен нулю, что означает, что у квадратного уравнения есть только один корень.

Оцените статью